Całkowity błąd obróbki jest wypadkową wszystkich błędów powstałych w wyniku działania omawianych czynników. Błędy te dzielą się na syste­matyczne i przypadkowe. Do błędów systematycznych zalicza się te błędy, które mają określony charakter, tzn. błędy stałe dla danej partii obrabianych przedmiotów lub zmieniające się stopniowo w miarę obróbki kolejnych przedmiotów. Mogą one powstać w wyniku zużycia prowadnic obrabiarek, roboczej części na­rzędzia skrawającego, tulejek prowadzących, wrzeciona obrabiarki, od­kształceń sprężystych obrabianych części itp. W znacznej większości przy­padków wielkość takich błędów można ustalić z pewnym przybliżeniem za pomocą obliczeń lub doświadczalnie, co pozwala je ograniczyć lub cał­kowicie usunąć. Zużyte prowadnice obrabiarki można przeskrobać, stę­pione narzędzie może być wymienione na nowe itd. W poszczególnych przypadkach można ustrzec się przed błędami sprawdzając poszczególne elementy obrabiarki (ich sztywność i wielkość odkształceń). Do błędów przypadkowych zalicza się takie błędy, których nie można wcześniej przewidzieć, jak np. odchylenia na skutek różnicy naddatków na obróbkę i własności mechanicznych materiału półfabrykatów, niejedna­kowych sił zamocowania przedmiotów w uchwycie lub przyrządzie itp. Wprawdzie trudno jest ustalić wielkość błędów przypadkowych, istnieją jednak pewne sposoby ich zmniejszania przez ustalenie odpowiednich to­lerancji wymiarów półfabrykatów, twardości materiałów, przez zastoso­wanie mechanizmów mocujących, w których siły mocujące nie ulegają zmianom (mechanizmy pneumatyczne lub hydrauliczne) itd. W wyniku błędów systematycznych i przypadkowych, powstających podczas obróbki przedmiotów, ich wymiary rzeczywiste różnią się między sobą. Zjawisko to nazywamy rozrzutem wielkości błędów lub rozrzutem wielkości odchyleń. Określenie rozrzutu błędów zwykłymi metodami analitycznymi jest oczywiście niemożliwe. Do rozwiązania tego zagadnienia należy stosować metody statystyczne oparte na prawach wielkich liczb, rozpatrywanych w teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej. Charakter roz­rzutu błędów najwyraźniej uwypukla się przez wyznaczenie tzw. krzy­wych rozkładu częstości odchyleń. Krzywe rozkładu częstości odchyleń sporządza się w sposób następujący. Po przeprowadzeniu pomiarów, których liczba nie powinna być mniejsza niż 200-=-250 dla danego wymiaru (w niektórych przypadkach dla celów praktycznych wystarcza pomiar 100 przedmiotów), otrzymane wyniki ze­stawia się w tablicy (patrz tabl. 5), przy czym obszar zmienności odchyleń dzieli się na określone jednakowe przedziały. Liczba przedzia­łów (nie mniejsza od 6), na które dzieli się obszar zmien­ności odchyleń, zależy od wy­maganej dokładności wykre­su, przy czym im jest ich wię­cej, tym dokładniejszy otrzy­muje się wykres. W tabl. 5 dla każdego prze­działu podano: jego wymiary graniczne, częstość bezwzglę­dną, czyli liczbę przedmiotów, których sprawdzane wymiary zawierają się w granicach danego przedziału, oraz częstość względną, określoną jako sto­sunek częstości wymiarów w każdym przedziale do liczby wszystkich do­konanych pomiarów. Jeżeli następnie w układzie współrzędnych (rys. 6) na osi odciętych odłożymy obszar zmienności rozważanej wielkości i podzielimy ten obszar na przedziały według sporządzonej poprzednio tablicy oraz w każdym przedziale zbudujemy (w pewnej skali) prostokąt o wysokości równej obli­czonej częstości względnej, to pole otrzymanej w ten sposób figury będzie­my nazywali polem rozkładu częstości odchyleń. Łącząc środki górnych podstaw prostokątów otrzymamy krzywą rozkładu częstości odchyleń, przy czym krzywa ta będzie linią łamaną, składającą się z odcinków prostych. Przy zwiększaniu liczby mierzo­nych przedmiotów i liczby przedziałów linia ta przybie­ra coraz bardziej kształt krzywej ciągłej. Kształt krzywej rozkładu częstości odchyleń zależny jest od charakteru dokony­wanych operacji. Różnica między największym i naj­mniejszym wymiarem przed­miotów danej partii, czyli ob­szar odchyleń, charakteryzu­je wielkość błędów przypad­kowych. Błąd systematycz­ny stały*) danej partii nie .wpływa na kształt krzywej rozkładu, a powoduje tylko przesunięcie całej krzywej w lewo lub prawo. Mówiąc, że dany błąd jest przypadkowy, nie należy rozumieć tego w ten sposób, że nie podlega on żadnym prawom. Powstaje on wskutek wpływu czynników nam nieznanych lub czynników, których działania nie możemy określić. Oczywiście żadne przewidywanie nie byłoby możliwe, gdybyśmy nic nie wiedzieli o projektowanej operacji. Najczęściej jednak wiemy, że operacja ta będzie wykonywana w takich samych warunkach, w jakich poprzednio wykonywano analogiczne operacje. Z tego względu mamy pod­stawę do przypuszczania, że działać tu będą te same (nawet nieznane nam) czynniki i w ten sposób jak poprzednio, zatem i wyniki tego działania będą analogiczne do poprzednich. Możemy więc przyjąć, że dla projekto­wanej operacji otrzymamy w przybliżeniu taką samą krzywą rozkładu odchyleń jak dla operacji zbadanych poprzednio. Tego rodzaju rozumo­wanie stanowi podstawę wszelkich badań statystycznych. Kształt krzywych rozkładu częstości odchyleń, z którymi spotykamy się przy badaniu operacji obróbki, bywa różny. Ustalenie w takich warun­kach jakichkolwiek praw mających znaczenie ogólne jest bardzo trudne. Statystyka matematyczna operuje krzywymi wyrażającymi zupełnie okre­ślone prawa rozkładu wartości przypadkowych określone przez pewne rów­nania i posługuje się nimi w celu przybliżonego wyrażenia rzeczywistych praw rozkładu. Najbardziej znane i najczęściej stosowane jest „prawo rozkładu normalnego", wyrażone krzywą Gaussa. Równanie krzywej Gaussa ma postać następującą Średni rozrzut kwadratowy wyników pomiarów jest więc pierwiast­kiem kwadratowym z sumy kwadratów odchyleń (od wielkości średniej arytmetycznej) dzielonej przez liczbę wszystkich sprawdzonych przedmio­tów. Z podanego równania widać, że krzywa Gaussa (zaznaczona linią przerywaną na rys. 6) jest linią symetryczną, ponieważ wyraz (x—xs>) występuje w kwadracie, przeto dwom jednakowym wartościom bezwzględ­nym (x—Xśr) o różnych znakach odpowiada ta sama wartość y. Obie ga­łęzie krzywej Gaussa zbliżają się asymptotycznie do osi odciętych. Krzywa posiada dwa punkty przegięcia A i B, których odcięte mierzone od osi symetrii równe są wartości średniego rozrzutu kwadratowego. Z równania tego wynika również, że w miarę zmniejszania średniego rozrzutu kwadratowego a wzrasta wartość bezwzględna występującego współczynnika—7=1 wraz z nią zwiększa się maksymalna wartość y; a 2~ jednocześnie rośnie bezwzględna wartość ujemnego wskaźnika potęgi e, co zwiększa stromość opadania krzywej (rys. la). Odwrotnie jeżeli wiel­kość o jest duża, to krzywa jest bardziej płaska. W przypadku sumowania dwóch lub więcej zbiorów statystycznych pod­legających prawu normalnego rozkładu wspólna krzywa częstości ich od­chyleń ma dwa (rys. Ib) lub wiele wierzchołków, albo jeden lecz niesyme­tryczny, w zależności od względnego położenia wierzchołków poszczegól­nych krzywych. Praktycznie takie krzywe można otrzymać w wyniku pomieszania dwóch lub większej ilości jednakowych partii przedmiotów obrabianych przy różnych nastawieniach obrabiarki lub różnymi narzę­dziami (np. dwoma rozwiertarkami, nowym i zużytym). Na podstawie licznych doświadczeń stwierdzono, że,prawo normalnego rozkładu częstości odchyleń można stosować w praktyce. Należy jednak zaznaczyć, że przy rozwiązywaniu praktycznych zadań można mówić je­dynie o wynikach przybliżonych, a nie o dokładnym pokrywaniu się krzy­wej Gaussa z krzywą rzeczywistego rozkładu częstości odchyleń. W każ­dym poszczególnym przypadku należy rozpatrzeć stopień przybliżenia rzeczywistej krzywej rozkładu częstości odchyleń do krzywej normalnego rozkładu. Zagadnienie to można rozwiązać na podstawie różnych metod ilościowego porównania. Najprostsza z tych metod — metoda Wester-garda — opiera się na następujących stosunkach właściwych dla krzywej Gaussa: W ten sposób w zakresie odpowiadającym 6 o (± 3 o) zawarte są prak­tycznie biorąc wymiary wszystkich przedmiotów badanej partii i wielkość ta może być uważana za równą obszarowi zmienności badanego wymiaru, tj. różnicy największego i najmniejszego wymiaru spotykanego w danej partii. Stąd można wyprowadzić następującą nierówność, wiążącą wielkość tolerancji T danego wymiaru z wielkością średniego rozrzutu kwadrato­wego o. T>6a W przypadku spełnienia podanej nierówności i symetrycznego rozłożenia pola tolerancji w stosunku do środka krzywej rozkładu odchyleń można liczyć, że rozpatrywana operacja zostanie wykonana bez braków. Nato­miast jeżeli T < 6 o, to przy każdym położeniu pola tolerancji powstaną braki. Taki przypadek przedstawiony jest na rys. 8a, na którym L ozna­cza dolny, a L2 — górny wymiar graniczny przy określonej tolerancji T. Pole ograniczone krzywą rozkładu i osią odciętych przedstawia w pew­nej skali całkowitą liczbę obrobionych przedmiotów rozpatrywanej partii. Część tego pola, leżąca między punktami A i B, wskazuje w tej samej skali liczbę przedmiotów mających wymiary zawarte w przedziale A B, a więc odpowiadających wymaganej tolerancji. Pozostała część pola (na rys. 8a — zakreskowana) pod krzywą rozkładu odpowiada brakom. Przy obróbce zewnętrznych powierzchni lewe pole zakreskowane odpowiada brakom, których nie można naprawić (wymiary przedmiotów są mniejsze niż dopuszczalna odchyłka dolna), a prawe — brakom, które można na­prawić. Przy obróbce powierzchni wewnętrznych rola tych pól zmienia się. Biorąc stosunek sumy tych pól do całego pola zawartego pod krzywą i mnożąc go przez 100 otrzymamy odsetek braków. Przy T < 6 a w niektórych przypadkach celowo nastawia się obrabiarkę według wymiaru przekraczającego granice tolerancji w stronę, która od­powiada przechodniej stronie sprawdzianu, tj. np. przy obróbce powierz­chni zewnętrznych tak, aby wymiar był większy od wymaganego. Przed­mioty te podlegają następnie obróbce uzupełniającej. Oczywiście najko­rzystniejsze położenie pola tolerancji będzie wtedy, gdy przy obróbce powierzchni zewnętrznych najmniejszy wymiar rzeczywisty odpowiada dolnemu wymiarowi granicznemu założonej tolerancji (rys. 8b), a przy obróbce powierzchni wewnętrznych odwrotnie, największy wymiar rzeczy­wisty odpowiada górnemu wymiarowi granicznemu (rys. 8c). W rzeczywi­stości jednak przy nastawianiu obrabiarki położenie pola rozrzutu nie jest zgodne z wymaganym. Aby zapobiec otrzymaniu braków, których nie można naprawić, trzeba zwiększyć liczbę przedmiotów przeznaczonych do obróbki uzupełniającej. Przesuwając krzywą rozkładu w stosunku do pola tolerancji można przeprowadzić niezbędne dla takiego przypadku oblicze­nia. Metoda ta, jakkolwiek wydaje się uniwersalna, w rzeczywistości pod­lega istotnym ograniczeniom. Konieczność sortowania, przechowywania i powtórnej obróbki wykonanych przedmiotów komplikuje bowiem orga­nizację produkcji. Oprócz tego napotyka się trudności przy powtórnym dokładnym ustawianiu przedmiotów na obrabiarce. Przy T = 6 o mogą również powstać braki, jeżeli pole tolerancji nie jest symetrycznie rozłożone w stosunku do środka krzywej rozkładu odchyleń (rys, 8d). Żeby w tym przypadku uniknąć braków, należy przez odpowied­nią zmianę ustawienia obrabiarki (lub zmianę wymiaru takich narzędzi, jak np. rozwiertak) przesunąć krzywą częstości odchyleń tak, aby znalazła się ona w środku pola tolerancji. W ten sposób przez porównywanie i ana­lizę krzywych częstości odchyleń można rozwiązać szereg spotykanych w praktyce zadań, jak na przykład podane niżej. 1. W jakim stopniu zapewnia dana operacja (według rzeczywistych od­chyleń wymiarów) utrzymanie tolerancji podanych na rysunku wykonaw­czym? 1)Jakie należy przedsięwziąć środki w celu utrzymania wyznaczonej tolerancji (przez przesunięcie krzywej w jedną lub w drugą stronę pola tolerancji w wyniku zmiany ustawienia obrabiarki lub zmiany innych czynników, zmniejszenie średniego rozrzutu kwadratowego wyników po­miarów przez stosowanie zabiegów mających na celu polepszenie dokład­ności obróbki, np. przez zmianę metody obróbki lub wprowadzenie dodat­kowej operacji itp.)? 2)Jak obliczyć poszczególne tolerancje w łańcuchu wymiarowym (roz­dział „Zasady opracowania procesów technologicznych")? Przy rozwiązywaniu podanych zadań zachodzi konieczność określenia średniego rozrzutu kwadratowego wyników pomiarów o. Wielkość tę dla analizowanej operacji wyznaczamy stosując następującą kolejność poszcze­gólnych czynności: 1) obrabiarkę dostosowuje się do pracy w normalnych warunkach produkcyjnych, następnie obrabia się partię przedmiotów (zwykle 200-250 sztuk) bez zmiany i przestawienia narzędzia skrawającego; 2) wszystkie obrobione przedmioty poddaje się dokładnym pomiarom; 3) sporządza się zestawienie wyników pomiarów i dodatkowych prze- liczeń według wzoru podanego w tablicy 6; 4) na podstawie danych zestawionych w tablicy określa się średni roz­rzut kwadratowy wyników pomiarów według wzoru.